Bir düzlem şeklin noktalarının hızlarının belirlenmesi. Düz bir şekil üzerindeki herhangi bir noktanın hızını belirleme

Anlatım 3. Rijit bir cismin düzlem paralel hareketi. Hızların ve ivmelerin belirlenmesi.

Bu ders aşağıdaki soruları kapsar:

1. Rijit bir cismin düzlem paralel hareketi.

2. Düzlem-paralel hareket denklemleri.

3. Hareketin öteleme ve dönme olarak ayrıştırılması.

4. Nokta hızlarının belirlenmesi düz şekil.

5. Vücudun iki noktasının hız izdüşümlerine ilişkin teorem.

6. Anlık hız merkezini kullanarak bir düzlem şeklin noktalarının hızlarının belirlenmesi.

7. Hızı belirlemek için problem çözme.

8. Hız planı.

9. Bir düzlem şeklin noktalarının ivmelerinin belirlenmesi.

10. İvme problemlerini çözme.

11. Ani ivme merkezi.

Bu konuların incelenmesi, katı bir cismin düzlemsel hareketinin dinamiği, bir malzeme noktasının göreli hareketinin dinamiği, "Makineler ve mekanizmalar teorisi" ve "Makine parçaları" disiplinlerindeki problemleri çözmek için gelecekte gereklidir. ".

Rijit bir cismin düzlem paralel hareketi. Düzlem-paralel hareket denklemleri.

Hareketin öteleme ve dönme olarak ayrıştırılması

Düzlem-paralel (veya düz), sert bir cismin tüm noktalarının sabit bir düzleme paralel hareket ettiği bir hareketidir. P(Şek. 28). Düzlem hareketi, birçok mekanizma ve makine parçası tarafından gerçekleştirilir, örneğin, rayın düz bir bölümünde dönen bir tekerlek, bir krank-sürgü mekanizmasındaki bir biyel kolu, vb. Düzlem-paralel hareketin özel bir durumu, dönme hareketidir. sabit bir eksen etrafında rijit bir cismin

Şekil.28 Şekil.29

bölümü düşünün S bazı uçakların gövdeleri Oksijen, düzleme paralel P(şek.29). Düzlem-paralel hareket ile vücudun tüm noktaları düz bir çizgi üzerinde uzanır. AA akışa dik S, yani uçaklar P, aynı şekilde hareket edin.

Bu nedenle, tüm vücudun hareketini incelemek için, düzlemde nasıl hareket ettiğini incelemenin yeterli olduğu sonucuna varıyoruz. Ohu bölüm S bu vücut veya bazı uçak figürü S. Bu nedenle gelecekte cismin düzlemsel hareketi yerine düzlemsel bir figürün hareketini ele alacağız. S düzleminde, yani uçakta Ohu.

Şekil pozisyonu S uçakta Ohu bu şekil üzerine çizilen bazı segmentlerin konumu ile belirlenir AB(Şek. 28). Buna karşılık, segmentin konumu AB koordinatları bilinerek belirlenebilir X bir ve y bir puan A ve segment olan açı AB eksenli formlar X. nokta Aşeklin konumunu belirlemek için seçilir S, bundan böyle kutup olarak adlandırılacaktır.

Büyüklük rakamını hareket ettirirken X bir ve y A ve değişecek. Hareket yasasını, yani şeklin düzlemdeki konumunu bilmek Ohu herhangi bir zamanda, bağımlılıkları bilmeniz gerekir

Devam eden hareketin yasasını belirleyen denklemlere düz bir şeklin kendi düzlemindeki hareket denklemleri denir. Ayrıca rijit bir cismin düzlem-paralel hareketinin denklemleridir.

Hareket denklemlerinin ilk ikisi, eğer =const; ise şeklin yapacağı hareketi tanımlar. bu açıkça, şeklin tüm noktalarının kutupla aynı şekilde hareket ettiği bir öteleme hareketi olacaktır. A. Üçüncü denklem, şeklin yapacağı hareketi belirler ve , yani kutup ne zaman A hareketsiz; bu, şeklin direğin etrafındaki dönüşü olacak A. Buradan şu sonuca varılabilir ki, içinde Genel dava Düz bir şeklin düzlemindeki hareketi, şeklin tüm noktalarının kutupla aynı şekilde hareket ettiği öteleme hareketinin toplamı olarak düşünülebilir. A ve bu kutup etrafındaki dönme hareketinden.

Ele alınan hareketin ana kinematik özellikleri, öteleme hareketinin direğin hız ve ivmesine eşit olan hızı ve ivmesi ile kutup etrafındaki dönme hareketinin açısal hızı ve açısal ivmesidir.

Bir düzlem şeklin noktalarının hızlarını belirleme

Düz bir şeklin hareketinin, şeklin tüm noktalarının direğin hızında hareket ettiği öteleme hareketinin bir toplamı olarak kabul edilebileceği kaydedildi. A ve bu kutup etrafındaki dönme hareketinden. Herhangi bir noktanın hızının olduğunu gösterelim. M figürler, noktanın bu hareketlerin her birinde aldığı hızlardan geometrik olarak oluşturulmuştur.

Gerçekten de, herhangi bir noktanın konumu M rakamlar eksenlere göre tanımlanır Ohu yarıçap vektörü (Şekil 30), kutbun yarıçap vektörü nerede A, - noktanın konumunu tanımlayan vektör M direkle birlikte hareket eden eksenler hakkında AÖteleme (şeklin bu eksenlere göre hareketi, kutup etrafında bir dönüştür. A). Daha sonra

Bir düzlem şeklin noktalarının hızlarını belirleme

Bir düzlem şeklin hareketinin, şeklin tüm noktalarının bir hızda hareket ettiği öteleme hareketinin bir toplamı olarak kabul edilebileceğine dikkat çekildi. direkler A ve bu kutup etrafındaki dönme hareketinden. Herhangi bir noktanın hızının olduğunu gösterelim. M figürler, noktanın bu hareketlerin her birinde aldığı hızlardan geometrik olarak oluşturulmuştur.

Gerçekten de, herhangi bir noktanın konumu M rakamlar eksenlere göre tanımlanır Ohu yarıçap vektörü(Şekil 3), nerede - kutbun yarıçap vektörü A , - bir noktanın konumunu tanımlayan bir vektör M eksenler hakkındadirek ile hareket AÖteleme (şeklin bu eksenlere göre hareketi, kutup etrafında bir dönüştür. A). Daha sonra

Ortaya çıkan eşitlikte, miktardireğin hızıdır A; büyüklük hıza eşit , hangi nokta M alır, yani eksenler hakkındaveya başka bir deyişle, şekil direğin etrafında döndüğünde A. Böylece, önceki eşitlikten şu sonuç çıkar:

Hız , hangi nokta Mşeklin direğin etrafında döndürülmesiyle elde edilen A :

nerede şeklin açısal hızıdır.

Yani herhangi bir noktanın hızı M düzlem şekil geometrik olarak başka bir noktanın hızından oluşur A kutup olarak alınır ve noktanın hızı M figür bu direğin etrafında döndüğünde alır. Modül ve hız yönükarşılık gelen paralelkenarın oluşturulmasıyla bulunur (Şekil 4).

Şekil.3Şekil.4

Vücudun iki noktasının hızlarının izdüşümlerine ilişkin teorem

Bir düzlem şeklin (veya düzleme paralel hareket eden bir cismin) noktalarının hızlarının belirlenmesi genellikle oldukça karmaşık hesaplamalarla ilişkilendirilir. Bununla birlikte, bir şeklin (veya cismin) noktalarının hızlarını belirlemek için bir dizi başka, pratik olarak daha uygun ve basit yöntemler elde edilebilir.

Şekil 5

Bu yöntemlerden biri teorem ile verilir: Rijit bir cismin iki noktasının bu noktalardan geçen eksen üzerindeki hız izdüşümleri birbirine eşittir. Bazı iki noktayı göz önünde bulundurun A Ve İÇİNDE düz şekil (veya vücut). puan almak A kutup başına (Şekil 5), elde ederiz. Bu nedenle, eşitliğin her iki parçasını da boyunca yönlendirilen eksene yansıtmak AB, ve verilen vektördik AB, bulduk

ve teorem kanıtlanmıştır.

Anlık hız merkezi kullanılarak bir düzlem şeklin noktalarının hızlarının belirlenmesi.

Bir düzlem şeklin (veya gövdenin) noktalarının hızlarını belirlemek için başka bir basit ve görsel yöntem düz hareket) anlık hız merkezi kavramına dayanmaktadır.

Anında hız merkezi Belirli bir zaman anında hızı sıfıra eşit olan bir düzlem figürü üzerindeki bir nokta denir.

Şekil hareket ederse bunu doğrulamak kolaydır uzlaşmaz bir şekilde, sonra her an böyle bir nokta Tvardır ve benzersizdir. şu anda izin ver T puan A Ve İÇİNDE uçak figürlerinin hızları vardır Ve , birbirine paralel değil (Şek. 6). O zaman nokta R dikeylerin kesişme noktasında uzanmak Ah vektöre Ve İÇİNDE B vektöre , ve o zamandan beri hızların anlık merkezi olacak. Gerçekten, eğer öyle olduğunu varsayarsak, sonra hız izdüşüm teoremine göre vektörhem dik olmalı hem de AR(Çünkü) Ve kan basıncı(Çünkü), bu imkansız. Aynı teoremden, zamanın bu anında şeklin başka hiçbir noktasının sıfıra eşit bir hıza sahip olamayacağı görülebilir.

Şekil 6

Eğer şimdi zamanın bir noktasında bir nokta alırsak R kutup başına, ardından noktanın hızı A irade

Çünkü . Şeklin diğer herhangi bir noktası için benzer bir sonuç elde edilir. Sonuç olarak, bir düzlem şeklin noktalarının hızları, sanki şeklin hareketi anlık hız merkezi etrafında bir dönüşmüş gibi, zamanın belirli bir anında belirlenir. nerede

Eşitliklerden şunu da takip eder:düz bir şeklin noktaları, MCS'den uzaklıklarıyla orantılıdır.

Elde edilen sonuçlar aşağıdaki sonuçlara yol açmaktadır.

1. Anlık hız merkezini belirlemek için yalnızca hızların yönünü bilmeniz gerekir Ve herhangi iki nokta A Ve İÇİNDE düz bir şekil (veya bu noktaların yörüngeleri); anlık hız merkezi, noktalardan oluşturulan dikmelerin kesişme noktasındadır. A Ve İÇİNDE bu noktaların hızlarına (veya yörüngelerin teğetlerine).

2. Düz bir şeklin herhangi bir noktasının hızını belirlemek için herhangi bir noktanın hızının modülünü ve yönünü bilmeniz gerekir. A rakamlar ve diğer noktasının hızının yönü İÇİNDE. Daha sonra, noktalardan yeniden yapılandırarak A Ve İÇİNDE dik Ve , anlık hız merkezini oluşturuyoruz R ve yönşeklin dönüş yönünü belirleyiniz. Bundan sonra bilerek, hızı bulHerhangi bir nokta M düz şekil. Yönlendirilmiş vektördik RMşeklin dönme yönünde.

3. Açısal hızdüzlem şekli, herhangi bir zamanda, şeklin herhangi bir noktasının hızının, anlık hız merkezinden uzaklığına oranına eşittir R :

Anlık hız merkezini belirlemenin bazı özel durumlarını ele alalım.

a) Düzlem-paralel hareket, bir silindirik cismin diğer bir sabit cismin yüzeyi üzerinde kaymadan yuvarlanması ile yapılıyorsa, nokta R sabit bir yüzeye temas eden yuvarlanan bir cismin (Şekil 7), belirli bir zamanda, kayma olmaması nedeniyle, sıfıra eşit bir hızı vardır (), ve dolayısıyla hızların anlık merkezidir. Bir tekerleğin bir ray üzerinde yuvarlanması buna bir örnektir.

b) Noktaların hızları ise A Ve İÇİNDE düz şekil birbirine paraleldir ve çizgi AB dik değil(Şekil 8, a), o zaman anlık hız merkezi sonsuzdadır ve tüm noktaların hızları paraleldir. Ayrıca, hız izdüşüm teoreminden şu sonuç çıkar: yani ; diğer tüm noktalar için benzer bir sonuç elde edilir. Bu nedenle, söz konusu durumda, belirli bir anda şeklin tüm noktalarının hızları hem mutlak değer hem de yön olarak birbirine eşittir, yani. Şekil, hızların anlık öteleme dağılımına sahiptir (vücudun bu hareket durumuna anlık öteleme de denir). Açısal hızGörüldüğü gibi bu noktada gövde sıfırdır.

Şekil 7

Şekil 8

c) Noktaların hızları ise A Ve İÇİNDE düz şekil birbirine paralel ve aynı zamanda çizgi AB dik, sonra anlık hız merkezi RŞekil 8b'de gösterilen yapı tarafından belirlenir. Yapıların geçerliliği, orandan kaynaklanır. Bu durumda öncekilerden farklı olarak merkezi bulmak için R yönlere ek olarak, hız modüllerini de bilmeniz gerekir.

d) Hız vektörü biliniyorsabir nokta İÇİNDEşekil ve açısal hızı, ardından anlık hız merkezinin konumu R dik uzanan(Şekil 8b) şu şekilde bulunabilir:.

Hızı belirlemek için problem çözme.

İstenen kinematik özellikleri (bir cismin açısal hızı veya noktalarının hızları) belirlemek için, kesitteki herhangi bir noktanın hızının modülünü ve yönünü ve başka bir noktanın hızının yönünü bilmek gerekir. bu vücut Çözüm, problem verilerine göre bu özelliklerin belirlenmesi ile başlamalıdır.

Hareketi incelenen mekanizma, karşılık gelen özelliklerin belirlenmesi için gerekli olan pozisyonda çizim üzerinde gösterilmelidir. Hesaplarken, anlık hız merkezi kavramının belirli bir rijit cisim için yer aldığı unutulmamalıdır. Birkaç gövdeden oluşan bir mekanizmada, belirli bir zamanda öteleme olmayan hareket eden her gövde kendi anlık hız merkezine sahiptir. R ve açısal hızı.

örnek 1Bobin şeklindeki bir gövde, orta silindiri ile sabit bir düzlem boyunca yuvarlanır, böylece(santimetre). Silindir yarıçapı:R= 4 kitle iletişim araçları R= 2 cm (Şek. 9). .

Şekil 9

Çözüm.Noktaların hızını belirleyin A, B Ve İLE.

Anlık hız merkezi, bobinin düzleme temas ettiği noktadadır.

Kutup hızı İLE .

Bobin Açısal Hızı

Nokta hızları A Ve İÇİNDE bu noktaları anlık hız merkezi ile birleştiren çizgi parçalarına dik olarak yönlendirilir. Hız değeri:

Örnek 2yarıçap tekerleği R= Parkurun düz bir bölümü boyunca kaymadan 0,6 m yuvarlanma (Şekil 9.1); C merkezinin hızı sabittir ve şuna eşittir:vc = 12 m/s. Tekerleğin açısal hızını ve uçlarının hızını bulun M 1 , M 2 , M 3 , M 4 dikey ve yatay tekerlek çapı.

Şekil 9.1

Çözüm. Tekerlek düzleme paralel bir hareket yapar. Anlık tekerlek hız merkezi, yatay düzlemle M1 temas noktasındadır, yani

tekerlek hızı

M2, M3 ve M4 noktalarının hızlarını buluyoruz

Örnek3 . Yarıçap araba tahrik tekerleği R= Otoyolun düz bir bölümü boyunca kayan (kayan) 0,5 m rulolar; merkezinin hızı İLE sabit ve eşitvc = 4 m/sn. Tekerlek hızlarının anlık merkezi şu noktadadır: R mesafede H = Yuvarlanma düzleminden 0,3 m. Tekerleğin açısal hızını ve noktaların hızlarını bulun A Ve İÇİNDE dikey çapı.

Şekil 9.2

Çözüm.tekerlek hızı

Noktaların hızlarını bulma A Ve İÇİNDE

Örnek 4Bağlantı çubuğunun açısal hızını bulun AB ve hız noktaları İÇİNDE ve krank mekanizmasının C'si (Şek. 9.3, A). Krankın açısal hızı göz önüne alındığında OA ve boyutlar: ω OA \u003d 2 sn -1, OA =AB = 0,36 metre au= 0,18 m.

A) B)

Şekil 9.3

Çözüm. Krank OAdönme hareketi yapar AB- düzlem paralel hareket (Şekil 9.3, B).

Bir noktanın hızını bulma A bağlantı OA

Nokta hızı İÇİNDE yatay olarak yönlendirilir. Noktaların hızlarının yönünü bilmek A Ve İÇİNDE Bağlantı Çubuğu AB, anlık hız merkezinin konumunu belirleyin - nokta AV.

Bağlantı hızı AB ve hız noktaları İÇİNDE ve C:

Örnek 5Çekirdek AB uçları karşılıklı dik düz çizgiler boyunca kayar, böylece bir açıda hız (Şek. 10). Çubuk uzunluğu AB= ben. Sonun hızını belirleyin A ve çubuğun açısal hızı.

Şekil 10

Çözüm.Noktanın hız vektörünün yönünü belirlemek kolaydır. A dikey düz bir çizgi boyunca kaymak. Daha sonradikeylerin kesişme noktasında bulunur ve (Şek. 10).

Açısal hız

Nokta hızı A :

Ve çubuğun merkezinin hızı İLE, örneğin, dikey yönlendirilmiş irravna:

Hız planı.

Cismin düzlemsel bölümünün birkaç noktasının hızları bilinsin (Şekil 11). Bu hızlar bir noktadan ölçeklendirilirse HAKKINDA ve uçlarını düz çizgilerle birleştirdiğinizde, hız planı denen bir resim elde edersiniz. (Görüntü üzerinde) .

Şekil 11

Hız planı özellikleri.

a) Hız planındaki üçgenlerin kenarları diktir. ilgili düz vücut düzleminde.

Gerçekten mi, . Ama hız açısından. Araç Ve dik AB, ve bu nedenle. Tam olarak aynı .

b) Hız planının kenarları, vücut düzlemindeki karşılık gelen düz çizgi parçalarıyla orantılıdır.

Çünkü, o zaman buradan hız planının kenarlarının vücut düzlemindeki çizgi parçalarıyla orantılı olduğu sonucu çıkar.

Özellikleri birleştirerek, hız planının vücuttaki karşılık gelen şekle benzer olduğu ve ona göre dönme yönünde 90˚ döndürüldüğü sonucuna varabiliriz.Hız planının bu özellikleri, noktaların hızlarını belirlemenizi sağlar. vücut grafiksel olarak

Örnek 6Şekil 12, ölçeklendirilecek mekanizmayı göstermektedir. Bilinen açısal hız bağlantı OA.

Şekil 12

Çözüm.Bir hız planı oluşturmak için herhangi bir noktanın hızı ve en azından diğerinin hız vektörünün yönü bilinmelidir. Örneğimizde, bir noktanın hızını belirleyebiliriz. A : ve vektörünün yönü.

Şekil 13

(Şek. 13) noktasından ayırın Ö derecelendirmekKaydırıcının hız vektörünün yönü biliniyor İÇİNDE- yatay. Hız planını noktadan çiziyoruz HAKKINDA doğrudanBENhız yönündenoktanın neresi olması gerektiğiB, bu noktanın hızını belirleyen İÇİNDE. Hız planının kenarları, mekanizmanın karşılık gelen bağlantılarına dik olduğundan, noktadan A dikey düz bir çizgi çizin ABçizgi ile kesişme noktasına BEN. Kesişim noktası noktayı tanımlayacaktır.Bve dolayısıyla noktanın hızı İÇİNDE : . Hız planının ikinci özelliğine göre kenarları bir mekanizmanın halkaları gibidir. Nokta İLE böler AB yarıda yani İle paylaşmalı A Byarısında. Nokta İle hız planındaki hızın büyüklüğünü ve yönünü belirler(Eğer İle nokta ile bağlan HAKKINDA).

hız noktası e sıfıra eşittir, yani nokta e hız planında nokta ile çakışıyor HAKKINDA.

Sonraki.Olmalı Ve . Bu çizgileri çiziyoruz, kesişme noktalarını buluyoruzD.Çizgi segmenti Ö D hız vektörünü belirlemek.

Örnek 7mafsallı dört bağlantıOABC sürüş krankOAcm bir eksen etrafında düzgün bir şekilde döner HAKKINDA açısal hız ileω \u003d 4 s -1 ve bir biyel kolu yardımıyla AB= 20 cm krankı döndürür Güneş eksen etrafında İLE(şek.13.1, A). Nokta hızlarını belirleyin A Ve İÇİNDE, biyel kolunun açısal hızının yanı sıra AB ve krank Güneş.

A) B)

Şekil 13.1

Çözüm.Nokta hızı A krank OA

puan almak A kutup başına, bir vektör denklemi oluşturuyoruz

Nerede

Bu denklemin grafiksel çözümü Şekil 13.1'de verilmiştir. ,B(hız planı).

Hız planını kullanarak şunu elde ederiz:

Biyel açısal hızı AB

Nokta hızı İÇİNDE cismin iki noktasının hızlarının onları birleştiren düz çizgi üzerindeki izdüşümlerine ilişkin teorem kullanılarak bulunabilir.

Krankın V ve açısal hızı GB

Bir düzlem şeklinin noktalarının ivmelerinin belirlenmesi

Herhangi bir noktanın ivmesinin olduğunu gösterelim. M bir düzlem şeklinin (hızla birlikte), bu şeklin öteleme ve dönme hareketleri sırasında bir noktanın aldığı ivmelerin toplamıdır. Nokta konumu M eksenlerle ilgili olarak HAKKINDA xy (bkz. şekil 30) belirlenir yarıçap vektörü- vektör arasındaki açıve bölüm MA(Şek. 14).

Böylece herhangi bir noktanın ivmesi M düz şekil geometrik olarak başka bir noktanın ivmesinden oluşur A, kutup olarak alındığında ve bir nokta olan ivme M figür bu direğin etrafında döndüğünde alır. İvme modülü ve yönü, karşılık gelen paralelkenarın oluşturulmasıyla bulunur (Şekil 23).

Ancak, hesaplama ve hızlanma bir nokta Aşu an bu rakam; 2) başka bir noktanın yörüngesi İÇİNDE rakamlar. Bazı durumlarda şeklin ikinci noktasının yörüngesi yerine anlık hız merkezinin konumunu bilmek yeterlidir.

Problemleri çözerken, gövde (veya mekanizma), karşılık gelen noktanın ivmesini belirlemenin gerekli olduğu konumda gösterilmelidir. Hesaplama, problem verilerine dayalı olarak kutup olarak alınan bir noktanın hız ve ivmesinin belirlenmesi ile başlar.

Çözüm planı (düz bir şeklin bir noktasının hız ve ivmesi ve şeklin başka bir noktasının hız ve ivmesinin yönü verilmişse):

1) Düz bir şeklin iki noktasının hızlarına diklikleri geri getirerek anlık hız merkezini buluyoruz.

2) Şeklin anlık açısal hızını belirleyin.

3) Kutup etrafındaki bir noktanın merkezcil ivmesini, bilinen ivme yönüne dik eksen üzerindeki ivmelerin tüm terimlerinin izdüşümlerinin toplamını sıfıra eşitleyerek belirleriz.

4) Bilinen ivme yönüne dik eksen üzerindeki tüm ivme terimlerinin izdüşümlerinin toplamını sıfıra eşitleyen dönme ivmesi modülünü buluyoruz.

5) Bulunan dönme ivmesinden düz bir şeklin anlık açısal ivmesini belirleyin.

6) İvme dağılımı formülünü kullanarak düz bir şeklin bir noktasının ivmesini buluyoruz.

Problemleri çözerken, "kesinlikle katı bir cismin iki noktasının ivme vektörlerinin izdüşümlerine ilişkin teoremi" uygulayabilirsiniz:

“Kesinlikle rijit bir cismin, bu iki noktadan geçen bir doğruya göre döndürülmüş bir düz çizgi üzerinde düzlem-paralel hareket yapan iki noktasının, bu cismin açılı hareket düzlemindeki izdüşümleri.açısal ivme yönünde eşittir.

Bu teorem, mutlak rijit bir cismin sadece iki noktasının ivmeleri hem mutlak değer hem de yön olarak biliniyorsa ve bu cismin diğer noktalarının ivme vektörlerinin sadece yönleri biliniyorsa (cismin geometrik boyutları) uygulanmaya uygundur. bilinmiyor), bilinmiyor Ve - sırasıyla, bu cismin açısal hız ve açısal ivme vektörlerinin hareket düzlemine dik bir eksen üzerindeki izdüşümleri, bu cismin noktalarının hızları bilinmemektedir.

Bir düzlem şeklin noktalarının ivmelerini belirlemenin 3 yolu daha vardır:

1) Metot, kesinlikle rijit bir cismin düzlem-paralel hareket yasalarının zamanda iki kez farklılaşmasına dayanmaktadır.

2) Metot, tamamen katı bir cismin anlık ivme merkezinin kullanımına dayanmaktadır (kesinlikle katı bir cismin anlık ivme merkezi aşağıda tartışılacaktır).

3) Metot, kesinlikle rijit bir cisim ivme planının kullanımına dayanmaktadır.

Bir düzlem şeklin (veya düzlem hareket halindeki bir cismin) noktalarının hızlarını belirlemeye yönelik bir başka basit ve açıklayıcı yöntem, anlık hız merkezi kavramına dayanır.

Anlık hız merkezi (ICV), belirli bir anda hızı sıfıra eşit olan düz bir şeklin noktasıdır.

Şekil ötelenmeden hareket ediyorsa, o zaman her an böyle bir nokta T vardır ve benzersizdir. şu anda izin ver T puan A Ve İÇİNDEşeklin düzlemleri birbirine paralel olmayan hızlara sahiptir (Şekil 2.21.). O zaman nokta R dikeylerin kesişme noktasında uzanmak Ah vektöre ve bb vektöre göre , ve anlık hız merkezi olacaktır, çünkü .

Şekil 2.21

Aslında, eğer , o zaman, hız izdüşüm teoremine göre, vektör aynı anda dik olmalıdır ve AR(çünkü) ve kan basıncı(çünkü ), bu imkansız. Aynı teoremden, zamanın bu anında şeklin başka hiçbir noktasının sıfıra eşit bir hıza sahip olamayacağı açıktır.

Eğer şimdi o zaman T puan almak R kutup başına. noktanın hızı budur A irade

ve şeklin herhangi bir noktası için böyle devam eder.

Bundan şu da çıkar ki ve , sonra

= ,

(2.54)

onlar. Ne bir düzlem şeklin noktalarının hızları, anlık hız merkezine olan uzaklıkları ile orantılıdır.

Elde edilen sonuçlar aşağıdaki sonuçlara yol açmaktadır:

1. Anlık hız merkezini belirlemek için, yalnızca hız yönlerinin bilinmesi gerekir, örneğin, Ve bir düzlem şeklin herhangi iki A ve B noktası.

2. Bir düzlem şeklin herhangi bir noktasının hızını belirlemek için, şeklin herhangi bir A noktasının hızının modülünü ve yönünü ve diğer B noktasının hızının yönünü bilmeniz gerekir.

3. Açısal hız Düz bir şeklin her anı, şeklin herhangi bir noktasının hızının, anlık hız merkezinden uzaklığına oranına eşittir P:

Teorik mekaniği çözmeye yardımcı olacak MCC tanımının bazı özel durumlarını ele alalım.

1. Düzlem-paralel hareket, bir silindirik cismin diğer bir sabit cismin yüzeyi üzerinde kaymadan yuvarlanması ile yapılıyorsa, o zaman nokta R sabit bir yüzeye temas eden yuvarlanan bir cisim (Şekil 2.22), kayma olmaması nedeniyle belirli bir zamanda sıfıra () eşit bir hıza sahiptir ve bu nedenle anlık hız merkezidir.

Şekil 2.22

2. Hız noktaları varsa A Ve İÇİNDE düz şekil birbirine paraleldir ve çizgi AB dik değil (Şekil 2.23, a), o zaman anlık hız merkezi sonsuzda ve tüm noktaların hızında yatıyor // . Aynı zamanda, hız izdüşüm teoreminden şu sonuç çıkar: örn. , bu durumda şeklin anlık öteleme hareketi vardır. veren .

Ortaya çıkan eşitlikte, miktar direğin hızıdır. A; değer, noktanın hızına eşittir M adresinde alır, yani eksenler hakkında veya başka bir deyişle, şekil direğin etrafında döndüğünde A. Böylece, önceki eşitlikten şu sonuç çıkar:

hız noktası Mşeklin direğin etrafında döndürülmesiyle elde edilen A:

şeklin açısal hızı nerede.

Yani herhangi bir noktanın hızı M düzlem şekil geometrik olarak başka bir noktanın hızından oluşur A kutup olarak alınır ve noktanın hızı M figür bu direğin etrafında döndüğünde alır. Hızın modülü ve yönü, karşılık gelen paralelkenar oluşturularak bulunur (Şekil 31).

Şekil.30 Şekil.31

23. Aslında katı bir cismin öteleme hareketinin denklemi, Newton'un ikinci yasasının denklemidir: Denklemleri kullanarak:

Ve alıyoruz.

24. Bu durumda bileşenler

- boyunca yönlendirilen dış kuvvetlerin momenti X Ve y, sabitleme reaksiyonunun kuvvetlerinin momentleri ile telafi edilir.

Bir eksen etrafında döndürme z sadece altında oluşur

6.4 6.5

Bazı vücutların bir eksen etrafında dönmesine izin verin z.Bir nokta için dinamik denklemi elde edin ben uzaktaki bu beden Ri dönme ekseninden. Aynı zamanda, şunu unutmayın

Her zaman dönme ekseni boyunca yönlendirilmiş z, bundan sonra simgeyi çıkaracağız z.

Tüm noktalar farklı olduğundan, açısal hız vektörünü tanıtıyoruz ve

Gövde kesinlikle katı olduğundan, dönme sürecinde ben Ve Ri değişmeden kalacaktır. Daha sonra:

belirtmek ben ben - atalet momenti puan uzaktan R dönme ekseninden:

Vücut yapıdan oluştuğu için büyük miktar noktalar ve hepsi dönme ekseninden farklı mesafelerde ise, o zaman cismin atalet momenti:

Nerede R- eksenden uzaklık z d'ye M. Gördüğünüz gibi atalet momenti BEN bir skaler değerdir.

Her şeyin toplamı Ben- puan,

al veya - Bu ana denklem

sabit bir eksen etrafında dönen bir cismin dinamiği.

26) Katı bir cismin açısal momentumu.

Açısal momentum, sabit eksene göre vücudun tüm malzeme noktalarının açısal momentumunun vektörel toplamıdır.

Rijit bir cismin dönme ekseni sabit ise, yataklardaki sürtünme kuvvetlerinden dolayı bu eksene () dik olan kuvvet momenti her zaman sıfır olacaktır.

Sabit bir dönme ekseni boyunca katı bir cismin açısal momentumunun değişim oranı, bu eksen boyunca yönlendirilen dış kuvvetlerin ortaya çıkan momentine eşittir.

- atalet momenti.

28) Dönen sürtünme kuvvetlerinin momenti Coulomb yasasıdır. Yuvarlanma sürtünme katsayısı.

Yuvarlanma sürtünmesi. Yuvarlanma sürtünmesinin varlığı, örneğin yarıçaplı ağır bir silindirin yatay bir düzlemde yuvarlanması incelenirken deneysel olarak belirlenebilir.

Silindir ve düzlem pürüzlü yüzeylere sahip katı cisimlerse (Şekil 55, a), o zaman temasları bir noktada gerçekleşecektir, N kuvveti yerçekimi P'yi dengeler ve yatay kuvvet Q ve sürtünme kuvveti F bir çift oluşturur Silindirin Q kuvvetinin herhangi bir büyüklüğünde hareket etmeye başlaması gereken kuvvetler (Q, F). Gerçekte, Q kuvvetinin büyüklüğü Ql sınır değerini aştıktan sonra silindir hareket etmeye başlar.

Bu gerçek, silindirin ve düzlemin deforme olduğunu varsayarsak açıklanabilir. Daha sonra temasları küçük bir alan veya delik boyunca gerçekleşecektir (Şekil 55, b'de küçük bir alan kesitiyle gösterilmiştir). Q kuvveti arttıkça, basınç merkezi kesitin ortasından sağa doğru hareket edecektir. Sonuç olarak, silindirin hareket etmeye başlamasını engelleyen bir kuvvet çifti (P,N) oluşur. Limit denge durumunda, Ql.r momentine sahip bir kuvvet çifti (Ql,F) ve onu N·δ momentiyle dengeleyen bir çift kuvvet (P,N) silindire etki eder; burada δ, maksimum yer değiştirme. Kuvvet çiftlerinin momentlerinin eşitliğinden bulduğumuz (6)

Q iken Ql dönmeye başlar.

Genellikle pirinç. Şekil 55, b, normal reaksiyonun uygulama noktasının yer değiştirmesini tasvir etmeyerek basitleştirilir, şekil 2'deki kuvvetlere eklenir. 55, şekil l'de gösterildiği gibi, silindirin dönmesini önleyen bir çift kuvvet. 55, s.

Bu kuvvet çiftinin momentine denir. yuvarlanma sürtünme momenti, bir çift kuvvetin momentine eşittir (P,N): (7)

Formül (6) ve (7)'de yer alan normal reaksiyonun uygulama noktasının maksimum yer değiştirme değeri δ yuvarlanma sürtünme katsayısı olarak adlandırılır. Uzunluk boyutuna sahiptir ve deneysel olarak belirlenir. İşte bazı malzemeler için bu katsayının (metre cinsinden) yaklaşık değerleri: ahşap üzerine ahşap δ = 0,0005-0,0008; çelik üzerine yumuşak çelik (ray üzerinde tekerlek) - 0,00005; çelik üzerine sertleştirilmiş çelik (bilyalı yatak) - 0,00001.

Çoğu malzeme için formül (6)'daki δ/r oranı statik sürtünme katsayısı f0'dan çok daha azdır. Bu nedenle, teknolojide, mümkün olduğunda, kaymayı yuvarlanmayla değiştirme eğilimindedirler (tekerlekler, makaralar, bilyalı rulmanlar, vb.).

Amonton-Coulomb yasası

Ana madde: Coulomb yasası (mekanik)

Coulomb yasası ile karıştırılmamalıdır!

Sürtünmenin ana özelliği, etkileşen gövdelerin yüzeylerinin yapıldığı malzemeler tarafından belirlenen sürtünme katsayısı μ'dır.

En basit durumlarda, sürtünme kuvveti F ve normal yük (veya normal reaksiyon kuvveti) Nnormal, yalnızca göreli hareketin varlığında eşitliğe dönüşen bir eşitsizlikle ilişkilidir. Bu orana Amonton-Coulomb yasası denir.

RİJİT BİR CİSİMİN DÜZLEM HAREKETİ

Çalışma soruları:

1. Rijit bir cismin düzlemsel hareket denklemleri.

2. Düz bir figürün noktalarının hızı

3. Anlık hız merkezi

4. Bir düzlem şeklin noktalarının ivmeleri

1. Rijit bir cismin düzlemsel hareket denklemleri

Katı bir cismin düzlemsel hareketiBunu aramakvücut kesitinin tüm noktalarının kendi düzlemlerinde hareket ettiği hareket.

katı olsun 1 düz bir hareket yapar.

Sekant uçak vücutta 1 kesme düzleminde hareket eden bir bölüm П oluşturur .

düzleme paralel ise vücudun diğer bölümlerini gerçekleştirin, örneğin noktalardan
vb. bölümlere aynı diklikte uzanıyorsa, tüm bu noktalar ve vücudun tüm bölümleri aynı şekilde hareket edecektir.

Sonuç olarak, bu durumda vücudun hareketi, bölümlerinden birinin herhangi bir paralel düzlemdeki hareketi ile tamamen belirlenir ve bölümün konumu, bu bölümün iki noktasının konumu ile belirlenir, örneğin A Ve İÇİNDE.

Bölüm konumu P uçakta Ohu segmentin konumunu belirlemek AB, bu bölümde gerçekleştirilir. Bir düzlemde iki noktanın konumu A(
) Ve İÇİNDE(
) bir kısıtlamanın uygulandığı dört parametre (koordinatlar) ile karakterize edilir - segmentin uzunluğu şeklinde iletişim denklemi AB:

Bu nedenle, P kesitinin düzlemdeki konumu ayarlanabilir. üç bağımsız parametre - koordinatlar
puanA ve açı, hangi bir segment oluşturur AB akslı Ah. nokta A, adı verilen P bölümünün konumunu belirlemek için seçilmiştir. KUTUP.

Gövde bölümü hareket ettiğinde, kinematik parametreleri zamanın fonksiyonlarıdır.

Denklemler, rijit bir cismin düzlem (düzlem-paralel) hareketinin kinematik denklemleridir. Şimdi elde edilen denklemlere göre cismin düzlem hareketinde öteleme ve dönme hareketleri yaptığını göstereceğiz. Şek. bir segment tarafından verilen bir gövde bölümü
koordinat sisteminde Ohu başlangıç konumundan taşındı 1 son konuma 2.

Vücudun pozisyondan olası yer değiştirmesinin iki yolunu gösterelim 1 2 konumuna

İlk yol. Bir noktayı kutup olarak alalım .Segmenti taşıma
kendisine paralel, yani yörünge boyunca aşamalı olarak ,eşleştirme noktalarından önce Ve . Segmentin konumunu alma . köşede ve segment tarafından verilen düz şeklin son konumunu elde ederiz.
.

İkinci yol. Bir noktayı kutup olarak alalım . Segmenti taşıma
kendisine paralel, yani yörünge boyunca kademeli olarak
eşleştirme noktalarından önce Ve .Segmentin konumunu alıyoruz
. Ardından, bu parçayı direğin etrafında döndürün Açık köşe ve segment tarafından verilen düz şeklin son konumunu elde ederiz.
.

Aşağıdaki sonuçları çıkaralım.

1. Düzlem hareketi, denklemlere tam uygun olarak, öteleme ve dönme hareketlerinin bir kombinasyonudur ve bir cismin düzlem hareketinin modeli, cismin kutup ve dönüşü ile birlikte vücudun tüm noktalarının öteleme hareketi olarak kabul edilebilir. vücut direğe göre.

2. Cismin öteleme hareketinin yörüngeleri kutup seçimine bağlıdır . Şek. 13.3 Ele alınan durumda, ilk hareket yönteminde, bir nokta kutup olarak alındığında bunu görüyoruz. , öteleme yörüngesi yörüngeden önemli ölçüde farklı
diğer kutup için İÇİNDE.

3. Gövdenin dönüşü direk seçimine bağlı değildir. Köşe vücudun dönüşü, modül ve dönüş yönünde sabit kalır . Her iki durumda da, Şekil l'de ele alınmıştır. 13.3, dönüş saat yönünün tersineydi.

Düzlemsel harekette cismin temel özellikleri şunlardır: direğin yörüngesi, cismin direk etrafındaki dönme açısı, direğin hızı ve ivmesi, cismin açısal hızı ve açısal ivmesi. Ek akslar
öteleme hareketinde kutupla birlikte hareket ederler A ana eksenlere paralel Ohu direğin yolu boyunca.

Düz bir şeklin direğinin hızı, denklemlerin zaman türevleri kullanılarak belirlenebilir:

Benzer şekilde cismin açısal özellikleri de belirlenir: açısal hız
;

açısal ivme

Şek. kutupta A hız vektörünün izdüşümleri gösterilmektedir aks üzerinde Ooh ooh Gövde dönüş açısı , açısal hız ve açısal ivme noktanın etrafındaki yay oklarıyla gösterilir A. Hareketin dönme özelliklerinin kutup seçiminden bağımsız olması nedeniyle, açısal özellikler ,,düz bir şeklin herhangi bir noktasında, örneğin B noktasında, yay oklarıyla gösterilebilir.