Dönen çevrimiçi hesap makinesiyle oluşturulan bir cismin hacmini hesaplayın. Belirli bir integral kullanarak dönen bir cismin hacmi nasıl hesaplanır? Düz bir şeklin bir eksen etrafında dönmesiyle oluşan bir cismin hacminin hesaplanması

Belirli bir integralin yardımıyla, yalnızca hesaplama yapılamaz. düz figürlerin alanları, aynı zamanda bu şekillerin koordinat eksenleri etrafında dönmesiyle oluşan cisimlerin hacimleri.

Bu tür cisimlerin örnekleri aşağıdaki şekildedir.

Görevlerde, bir eksen etrafında dönen eğrisel yamuklarımız var. Öküz veya eksen etrafında Oy. Eğrisel bir yamuğun dönmesiyle oluşan bir cismin hacmini hesaplamak için şunlara ihtiyacımız var:

• "pi" sayısı (3.14...);
• "oyun" karesinin belirli bir integrali - dönen bir eğriyi tanımlayan bir işlev (bu, eğrinin eksen etrafında dönmesidir) Öküz );
• "x" karesinin "y"den ifade edilen belirli bir integrali (bu, eğrinin eksen etrafında dönmesidir) Oy );
• entegrasyonun sınırları - A Ve B.

Böylece eksen etrafında dönerek oluşan cisim Öküz fonksiyonun grafiği tarafından yukarıdan sınırlandırılmış eğrisel yamuk y = F(X) , hacmi var

benzer hacim v y ekseni etrafında döndürülerek elde edilen gövde ( Oy) eğrisel bir yamuğun formülü ile ifade edilir

Alanı hesaplarken düz şekil bazı şekillerin alanlarının, iki integralin farkı olarak bulunabileceğini öğrendik; burada integraller, şekli yukarıdan ve aşağıdan sınırlayan fonksiyonlardır. Hacimleri iki cismin hacimleri arasındaki fark olarak hesaplanan bazı devrim cisimlerinde durum böyle görünüyor, bu tür durumlar örnek 3, 4 ve 5'te analiz ediliyor.

örnek 1Öküz) bir hiperbol, x ekseni ve düz çizgilerle sınırlanmış bir şekil, .

Çözüm. Devrim gövdesinin hacmini formül (1) ile buluyoruz, burada , ve entegrasyonun sınırları A = 1 , B = 4 :

Örnek 2 Yarıçaplı bir kürenin hacmini bulun R.

Çözüm. Topu, yarıçaplı bir yarım dairenin apsis ekseni etrafında döndürülerek elde edilen bir cisim olarak düşünün. R orijin merkezlidir. Daha sonra formül (1)'de integral şu ​​şekilde yazılacaktır ve entegrasyon limitleri - R Ve R. Buradan,

Örnek 3 Vücudun x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan hacmini bulun ( Öküz) ve paraboller arasına alınmış şeklin.

Çözüm. İstenen hacmi, eğrisel yamukların apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cisimlerin hacimleri arasındaki fark olarak temsil ediyoruz. ABCDE Ve ABFDE. Bu cisimlerin hacimleri, entegrasyon sınırlarının noktaların apsisine eşit ve eşit olduğu formül (1) ile bulunabilir. B Ve D parabollerin kesişim noktaları. Şimdi vücudun hacmini bulabiliriz:

Örnek 4 Bir simitin hacmini hesaplayın (bir simit, yarıçaplı bir çemberin döndürülmesiyle elde edilen bir cisimdir. A bir mesafede kendi düzleminde yatan bir eksen hakkında B dairenin merkezinden (). Bir torusun şekli, örneğin bir simittir).

Çözüm. Dairenin eksen etrafında dönmesine izin verin Öküz(Şek. 20). Bir torusun hacmi, eğrisel yamukların dönüşünden elde edilen cisimlerin hacimleri arasındaki fark olarak temsil edilebilir. ABCDE Ve ABLDE eksen etrafında Öküz.

Çember denklemi LBCD forma sahip

ve eğrinin denklemi BCD

ve eğrinin denklemi BLD

Cisimlerin hacimlerindeki farkı kullanarak torusun hacmini elde ederiz. v ifade

Dönen Katıların Hacimlerini Bulmak İçin İntegralleri Kullanma

Matematiğin pratik yararlılığı,

belirli matematik bilgisi, cihazın ilkelerini ve modern teknolojinin kullanımını anlamayı zorlaştırır. Hayatındaki her insan oldukça karmaşık hesaplamalar yapmak, yaygın olarak kullanılan ekipmanları kullanmak, referans kitaplarından gerekli formülleri bulmak ve problem çözmek için basit algoritmalar oluşturmak zorundadır. İÇİNDE modern toplum yüksek düzeyde eğitim gerektiren daha fazla uzmanlık, matematiğin doğrudan uygulanmasıyla ilişkilendirilir. Böylece, bir okul çocuğu için matematik profesyonel olarak önemli bir konu haline gelir. Algoritmik düşüncenin oluşumunda başrol matematiğe aittir, verilen bir algoritmaya göre hareket etme ve yeni algoritmalar tasarlama becerisini ortaya çıkarır.

Dönen cisimlerin hacimlerini hesaplamak için integrali kullanma konusunu incelerken, seçmeli derslerdeki öğrencilerin "İntegral kullanarak dönen cisimlerin hacimleri" konusunu ele almalarını öneriyorum. İşte bu konuyu ele almak için bazı yönergeler:

1. Düz bir figürün alanı.

Cebir dersinden, problemlerin belirli bir integral kavramına yol açtığını biliyoruz. pratik. Bunlardan biri, y=f(x) (burada f(x)DIV_ADBLOCK243"> sürekli bir doğru ile sınırlanmış düz bir şeklin alanını hesaplamaktır.

Eğrisel bir yamuğun alanını, yamuğun tabanı x ekseni üzerindeyse formülü kullanarak veya https://pandia.ru/text/77/502/images/image004_49.jpg" genişlik= formülünü kullanarak hesaplayın. "526" yükseklik="262 kaynak=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" genişlik="127" yükseklik="25 kaynak=">.

Kesik bir çizgi y=f(x), Öküz ekseni, x=a ve x=b düz çizgileri ile sınırlanan Öküz ekseni etrafında eğrisel bir yamuğun dönmesiyle oluşan dönen bir cismin hacmini bulmak için, şunu hesaplarız: formüle göre

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Silindirin hacmi.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" genişlik="85" yükseklik="51">..gif" genişlik="13" yükseklik="25">..jpg" width="401" height="355">Koni, ABC dik üçgeninin(C=90) AC bacağının üzerinde bulunduğu Öküz ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilir.

AB kesimi, https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src="> olduğu y=kx+c satırında yer alır.

a=0, b=H (H, koninin yüksekliğidir), sonra Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= olsun ">.

5. Kesik bir koninin hacmi.

Dikdörtgen bir yamuk ABCD (CDOx) Ox ekseni etrafında döndürülerek kesik bir koni elde edilebilir.

AB doğru parçası y=kx+c doğrusu üzerindedir, burada , ç=r.

Doğru A noktasından geçtiği için (0; r).

Böylece düz çizgi https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src="> gibi görünür.

a=0, b=H (H kesik koninin yüksekliğidir), sonra https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src olsun ="> = .

6. Topun hacmi.

Top, merkezli (0;0) bir dairenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilebilir. X ekseninin üzerinde bulunan yarım daire, denklemle verilir.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

I. Devrim organlarının ciltleri. G. M. Fikhtengolts'un ders kitabına göre XII. bölümün ön çalışması, p°p° 197, 198. p° 198'de verilen örnekleri ayrıntılı olarak inceleyin.

508. Elipsin x ekseni etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayın.

Böylece,

530. X \u003d 0 noktasından X \u003d It noktasına sinüzoidal y \u003d sin x yayının Öküz ekseni etrafındaki dönüşünün oluşturduğu yüzey alanını bulun.

531. Yüksekliği h ve yarıçapı r olan bir koninin yüzey alanını hesaplayın.

532. tarafından oluşturulan yüzey alanını hesaplayın

astroid x3 -) - y* - a3'ün x ekseni etrafında dönüşü.

533. 18 y-x(6-x)r eğrisinin x ekseni etrafında ters çevrilmesiyle oluşan yüzey alanını hesaplayın.

534. X2 - j - (y-3)2 = 4 dairesinin x ekseni etrafında dönmesiyle oluşan simidin yüzeyini bulun.

535. X = a maliyet, y = asint dairesinin Ox ekseni etrafında dönmesiyle oluşan yüzey alanını hesaplayın.

536. x = 9t2, y = St - 9t3 eğrisinin ilmeğinin Ox ekseni etrafında dönmesiyle oluşan yüzey alanını hesaplayın.

537. Eğri yayının x = e * sint, y = el maliyeti Ox ekseni etrafında dönmesiyle oluşan yüzey alanını bulun

t = 0'dan t = -'ye.

538. Sikloid yayının x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) Oy ekseni etrafında dönmesiyle oluşan yüzeyin 16 u2 o2'ye eşit olduğunu gösterin.

539. Kardioitin kutup ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen yüzeyi bulun.

540. Lemniskatın dönmesiyle oluşan yüzey alanını bulun kutup ekseni etrafında.

Bölüm IV için Ek Görevler

Uçak figürlerinin alanları

541. Bir eğri ile sınırlanmış bir bölgenin tüm alanını bulun Ve eksen Oh.

542. Eğrinin sınırladığı bölgenin alanını bulun

Ve eksen Oh.

543. Bölgenin alanının birinci kadranda bulunan ve eğri ile sınırlanan kısmını bulun

l koordinat eksenleri.

544. İçinde bulunan alanın alanını bulun

döngüler:

545. Eğrinin bir halkasıyla sınırlanan bölgenin alanını bulun:

546. Döngünün içerdiği alanın alanını bulun:

547. Eğrinin sınırladığı bölgenin alanını bulun

Ve eksen Oh.

548. Eğrinin sınırladığı bölgenin alanını bulun

Ve eksen Oh.

549. Oxr ekseni tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulun

düz ve eğri

bir eksen etrafında düz şekil

Örnek 3

Çizgilerle sınırlanmış düz bir şekil verildiğinde , , .

1) Bu çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını bulun.

2) Bu çizgilerle çevrelenmiş düz bir şekli eksen etrafında döndürerek elde edilen cismin hacmini bulunuz.

Dikkat! Sadece ikinci paragrafı okumak isteseniz bile, önce zorunlu olarak ilkini oku!

Çözüm: Görev iki bölümden oluşmaktadır. Kare ile başlayalım.

1) Çizimi çalıştıralım:

Fonksiyonun parabolün üst kolunu tanımladığını ve fonksiyonun parabolün alt kolunu tanımladığını görmek kolaydır. Önümüzde "yan yatmış" önemsiz bir parabol var.

Alanı bulunacak istenen şekil mavi renkle gölgelendirilir.

Bir şeklin alanı nasıl bulunur? "Normal" şekilde bulunabilir. Ayrıca şeklin alanı, alanların toplamı olarak bulunur:

- segmentte;

- segmentte.

Bu yüzden:

Daha rasyonel bir çözüm var: ters fonksiyonlara geçiş ve eksen boyunca entegrasyondan oluşuyor.

Ters fonksiyonlara nasıl geçilir? Kabaca konuşursak, "x"i "y" ile ifade etmeniz gerekir. İlk olarak, parabol ile ilgilenelim:

Bu kadar yeter ama aynı fonksiyonun alt daldan da türetilebildiğinden emin olalım:

Düz bir çizgi ile her şey daha kolay:

Şimdi eksene bakın: lütfen açıklarken başınızı periyodik olarak 90 derece sağa eğin (bu bir şaka değil!). İhtiyacımız olan rakam, kırmızı noktalı çizgi ile gösterilen segmentte yer almaktadır. Aynı zamanda, segmentte düz çizgi parabolün üzerinde bulunur, bu da şeklin alanının size zaten tanıdık gelen formül kullanılarak bulunması gerektiği anlamına gelir:. Formülde neler değişti? Sadece bir mektup ve daha fazlası değil.

! Not : Eksen entegrasyon limitleri düzenlenmelikesinlikle aşağıdan yukarıya !

Alanı bulmak:

Bu nedenle segmentte:

Entegrasyonu nasıl gerçekleştirdiğime dikkat edin, bu en akılcı yoldur ve ödevin bir sonraki paragrafında neden olduğu netleşecektir.

Entegrasyonun doğruluğundan şüphe duyan okuyucular için türevleri bulacağım:

Orijinal integral elde edilir, bu da entegrasyonun doğru yapıldığı anlamına gelir.

Cevap:

2) Bu şeklin eksen etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayınız.

Çizimi biraz farklı bir tasarımla yeniden çizeceğim:

Böylece mavi gölgeli şekil eksen etrafında döner. Sonuç, kendi ekseni etrafında dönen bir "uçan kelebek".

Dönen cismin hacmini bulmak için eksen boyunca integral alacağız. İlk önce ters fonksiyonlara geçmeliyiz. Bu zaten yapılmış ve önceki paragrafta ayrıntılı olarak açıklanmıştır.

Şimdi başımızı tekrar sağa eğerek figürümüzü inceliyoruz. Açıkçası, devrim gövdesinin hacmi, hacimler arasındaki fark olarak bulunmalıdır.

Kırmızı daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürerek kesik bir koni elde ediyoruz. Bu hacmi ile gösterelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli eksen etrafında döndürüyoruz ve ortaya çıkan dönüş gövdesinin hacmiyle gösteriyoruz.

Kelebeğimizin hacmi hacim farkına eşittir.

Dönen bir cismin hacmini bulmak için formülü kullanıyoruz:

Önceki paragrafın formülünden farkı nedir? Sadece harflerle.

Ve işte yakın zamanda bahsettiğim integral almanın avantajını bulmak, integrali önce 4. kuvvete yükseltmekten çok daha kolay.

Cevap:

Aynı düz şekil eksen etrafında döndürülürse, doğal olarak farklı bir hacimde tamamen farklı bir dönüş gövdesi ortaya çıkacağına dikkat edin.

Örnek 7

Eğrilerle sınırlanan şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayınız.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Yol boyunca, diğer bazı fonksiyonların grafikleriyle tanışıyoruz. Çift bir fonksiyonun böyle ilginç bir grafiği ....

Dönen cismin hacmini bulmak için şeklin mavi ile gölgelendirdiğim sağ yarısını kullanmak yeterlidir. Her iki fonksiyon da çifttir, grafikleri eksene göre simetriktir ve şeklimiz de simetriktir. Böylece, eksen etrafında dönen gölgeli sağ kısım, sol taranmamış kısım ile kesinlikle çakışacaktır. veya . Aslında, grafikteki birkaç noktayı bulunan ters fonksiyonla değiştirerek kendimi her zaman sigortalıyorum.

Şimdi başımızı sağa doğru eğiyoruz ve şu şeyi fark ediyoruz:

– eksenin üzerindeki segmentte fonksiyonun bir grafiği bulunur;

Bir devrim gövdesinin hacminin, devrim gövdelerinin hacimlerinin toplamı olarak aranması gerektiğini varsaymak mantıklıdır!

Formülü kullanıyoruz:

Bu durumda.

Dışında belirli bir integral kullanarak düz bir şeklin alanını bulma temanın en önemli uygulaması dönen bir cismin hacminin hesaplanması. Materyal basittir, ancak okuyucu hazırlıklı olmalıdır: çözebilmek gerekir belirsiz integraller orta karmaşıklık ve Newton-Leibniz formülünü kesin integral . Alanı bulma probleminde olduğu gibi, kendinize güvenen çizim becerilerine ihtiyacınız var - bu neredeyse en önemli şeydir (çünkü integrallerin kendileri genellikle kolay olacaktır). Metodolojik materyalin yardımıyla grafik çizmenin yetkin ve hızlı tekniğinde ustalaşabilirsiniz. . Ama aslında derste çizimlerin öneminden defalarca bahsetmiştim. .

Genel olarak, integral hesabında pek çok ilginç uygulama vardır, belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını, bir dönüş gövdesinin hacmini, bir yayın uzunluğunu, yüzey alanını hesaplayabilirsiniz. vücudun ve çok daha fazlası. Bu yüzden eğlenceli olacak, lütfen iyimser olun!

Koordinat düzleminde düz bir şekil hayal edin. Temsil mi? ... Acaba kim neyi sundu ... =))) Biz zaten alanını bulduk. Ancak ek olarak, bu şekil döndürülebilir ve iki şekilde döndürülebilir:

– x ekseni etrafında; - y ekseni etrafında.

Bu yazıda her iki durum da tartışılacaktır. İkinci döndürme yöntemi özellikle ilginçtir, en büyük zorluklara neden olur, ancak aslında çözüm, x ekseni etrafında daha yaygın olan döndürme ile hemen hemen aynıdır. Bonus olarak geri döneceğim bir şeklin alanını bulma sorunu , ve alanı ikinci şekilde - eksen boyunca nasıl bulacağınızı söyleyin. Materyal temaya iyi uyduğu için bir bonus bile değil.

En popüler döndürme türüyle başlayalım.

Düz bir şeklin bir eksen etrafında dönmesiyle oluşan bir cismin hacminin hesaplanması

örnek 1

Çizgilerle sınırlandırılmış şeklin eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayınız.

Çözüm: Alanı bulma probleminde olduğu gibi, çözüm düz bir şekil çizmekle başlar. Yani düzlemde, denklemin ekseni tanımladığını unutmadan çizgilerle sınırlanmış bir şekil oluşturmak gerekir. Daha rasyonel ve daha hızlı bir çizimin nasıl yapıldığını sayfalarda bulabilirsiniz. Temel Fonksiyonların Grafikleri ve Özellikleri Ve Kesin integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır . Bu bir Çin hatırlatması ve bu noktada durmuyorum.

Buradaki çizim oldukça basit:

İstenilen düz şekil mavi gölgelidir, eksen etrafında dönen odur. Döndürme sonucunda eksene göre simetrik olan bu hafif yumurta şeklindeki uçan daire elde edilir. Aslında vücudun matematiksel bir adı var ama referans kitaptaki bir şeye bakmak için çok tembel, o yüzden devam ediyoruz.

Bir devrim gövdesinin hacmi nasıl hesaplanır?

Dönen bir cismin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

Formülde, integralden önce bir sayı olmalıdır. Öyle oldu - hayatta dönen her şey bu sabitle bağlantılı.

"a" ve "be" entegrasyonunun sınırlarının nasıl belirleneceğini, tamamlanmış çizimden tahmin etmenin kolay olduğunu düşünüyorum.

fonksiyon... bu fonksiyon nedir? Çizime bakalım. Düz şekil yukarıdan parabol grafiği ile sınırlanmıştır. Bu, formülde ima edilen işlevdir.

Pratik görevlerde, bazen eksenin altına düz bir şekil yerleştirilebilir. Bu hiçbir şeyi değiştirmez - formüldeki işlevin karesi alınır: , yani bir devrim gövdesinin hacmi her zaman negatif değildir, bu oldukça mantıklı.

Bu formülü kullanarak devrim gövdesinin hacmini hesaplayın:

Daha önce de belirttiğim gibi, integral neredeyse her zaman basit çıkıyor, asıl mesele dikkatli olmaktır.

Cevap:

Cevapta, boyutu - kübik birimleri belirtmek gerekir. Yani, dönüş bedenimizde yaklaşık 3.35 "küp" vardır. Neden tam olarak kübik birimler? Çünkü en evrensel formülasyon. Santimetreküp olabilir, metreküp olabilir, kilometreküp olabilir vs. işte hayal gücünüzün bir uçan daireye sığdırabileceği kadar küçük yeşil adam.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlandırılmış şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulunuz , ,

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Uygulamada da sıklıkla karşılaşılan iki karmaşık sorunu daha ele alalım.

Örnek 3

, , ve çizgileriyle sınırlandırılmış şeklin apsis ekseni etrafında döndürülerek elde edilen cismin hacmini hesaplayınız.

Çözüm: Denklemin ekseni tanımladığını unutmadan, çizimde , , , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil gösterelim:

İstenen şekil mavi gölgeli. Eksen etrafında döndüğünde, dört köşeli böyle gerçeküstü bir halka elde edilir.

Devir gövdesinin hacmi şu şekilde hesaplanır: vücut hacmi farkı.

İlk önce kırmızı daire içine alınmış şekle bakalım. Eksen etrafında döndüğünde kesik bir koni elde edilir. Bu kesik koninin hacmini olarak gösterelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli düşünün. Bu şekli eksen etrafında döndürürseniz, sadece biraz daha küçük olan kesik bir koni elde edersiniz. hacmini ile gösterelim.

Ve açıkçası, hacimlerdeki fark tam olarak "çöreğimizin" hacmidir.

Dönen bir cismin hacmini bulmak için standart formülü kullanıyoruz:

1) Kırmızı daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgi ile sınırlanmıştır, bu nedenle:

2) Yeşil daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgi ile sınırlanmıştır, bu nedenle:

3) İstenen devir gövdesinin hacmi:

Cevap:

Bu durumda, kesik bir koninin hacmini hesaplamak için okul formülü kullanılarak çözümün kontrol edilebileceği merak edilmektedir.

Kararın kendisi genellikle şuna benzer şekilde kısaltılır:

Şimdi biraz ara verelim ve geometrik illüzyonlardan bahsedelim.

İnsanlar genellikle, Perelman'ın (aynı değil) kitapta fark ettiği ciltlerle ilişkili yanılsamalara sahiptir. ilginç geometri. Çözülmüş problemdeki düz şekle bakın - alan olarak küçük görünüyor ve devrim gövdesinin hacmi 50 kübik birimin biraz üzerinde, ki bu çok büyük görünüyor. Bu arada, ortalama bir insan hayatı boyunca 18 metrekarelik bir oda hacminde bir sıvı içiyor, aksine hacim çok küçük görünüyor.

Genel olarak, SSCB'deki eğitim sistemi gerçekten en iyisiydi. Perelman'ın 1950'de yazdığı aynı kitabı, mizahçının dediği gibi, akıl yürütmeyi çok iyi geliştirir ve sorunlara standart dışı orijinal çözümler aramayı öğretir. Son zamanlarda bazı bölümleri büyük bir ilgiyle yeniden okudum, tavsiye ediyorum, insani yardım isteyenler için bile erişilebilir. Hayır, ısmarlama bir eğlence, bilgelik ve iletişimde geniş bir bakış açısı önerdiğim için gülümsemenize gerek yok, harika bir şey.

Lirik bir konudan sonra, yaratıcı bir görevi çözmek tam olarak uygundur:

Örnek 4

, , , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şeklin ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan bir cismin hacmini hesaplayınız .

Bu bir kendin yap örneğidir. Lütfen her şeyin bantta gerçekleştiğini, yani neredeyse hazır entegrasyon limitleri verildiğini unutmayın. Ayrıca, argüman ikiye bölünürse, trigonometrik fonksiyonların grafiklerini doğru bir şekilde çizmeye çalışın: , o zaman grafikler eksen boyunca iki kez gerilir. En az 3-4 puan bulmaya çalışın trigonometrik tablolara göre ve çizimi daha doğru hale getirin. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Bu arada, görev rasyonel olarak çözülebilir ve çok rasyonel değil.