คำนวณปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนเครื่องคิดเลขออนไลน์ จะคำนวณปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนได้อย่างไร? การคำนวณปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนของรูปทรงแบนรอบแกน

ด้วยความช่วยเหลือของอินทิกรัลที่แน่นอน เราสามารถคำนวณได้ไม่เพียงเท่านั้น พื้นที่ของตัวเลขแบนแต่ยังรวมถึงปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนของตัวเลขเหล่านี้รอบแกนพิกัด

ตัวอย่างของร่างกายดังกล่าวอยู่ในภาพด้านล่าง

ในงาน เรามีสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งที่หมุนรอบแกน วัวหรือรอบแกน โอ๊ย. ในการคำนวณปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูเราต้องการ:

• หมายเลข "ปี่" (3.14...);
• อินทิกรัลแน่นอนของกำลังสองของ "เกม" - ฟังก์ชันที่กำหนดเส้นโค้งการหมุน (นี่คือถ้าเส้นโค้งหมุนรอบแกน วัว );
• อินทิกรัลแน่นอนของสี่เหลี่ยม "x" แสดงจาก "y" (นี่คือถ้าเส้นโค้งหมุนรอบแกน โอ๊ย );
• ขีด จำกัด ของการรวม - กและ ข.

ดังนั้นร่างกายซึ่งเกิดจากการหมุนรอบแกน วัวสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันจากด้านบน ย = ฉ(x) มีปริมาณ

ปริมาณในทำนองเดียวกัน โวลต์ร่างกายที่ได้จากการหมุนรอบแกน y ( โอ๊ย) ของสี่เหลี่ยมคางหมูเชิงเส้นโค้งแสดงโดยสูตร

เมื่อคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบน เราได้เรียนรู้ว่าพื้นที่ของตัวเลขบางส่วนสามารถหาได้จากความแตกต่างของอินทิกรัลสองตัว ซึ่งอินทิกรัลเป็นฟังก์ชันที่จำกัดตัวเลขจากด้านบนและด้านล่าง ดูเหมือนว่านี่เป็นกรณีของการปฏิวัติบางส่วน ซึ่งปริมาตรของวัตถุนี้คำนวณจากความแตกต่างระหว่างปริมาตรของวัตถุสองชิ้น กรณีดังกล่าวได้รับการวิเคราะห์ในตัวอย่างที่ 3, 4 และ 5

ตัวอย่างที่ 1วัว) รูปที่ล้อมรอบด้วยไฮเปอร์โบลา แกน x และเส้นตรง

สารละลาย. เราพบปริมาตรของส่วนประกอบของการปฏิวัติตามสูตร (1) ซึ่งในนั้น และขีด จำกัด ของการรวมเข้าด้วยกัน ก = 1 , ข = 4 :

ตัวอย่างที่ 2หาปริมาตรของทรงกลมรัศมี ร.

สารละลาย. พิจารณาลูกบอลเป็นวัตถุที่ได้จากการหมุนรอบแกน abscissa ของรัศมีครึ่งวงกลม รมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด จากนั้นในสูตร (1) อินทิกแรนด์จะถูกเขียนเป็น และลิมิตอินทิกรัลคือ - รและ ร. เพราะฉะนั้น,

ตัวอย่างที่ 3หาปริมาตรของวัตถุที่เกิดจากการหมุนรอบแกน x ( วัว) ของรูปที่อยู่ระหว่างพาราโบลากับ

สารละลาย. เราแสดงปริมาตรที่ต้องการเป็นความแตกต่างระหว่างปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนรอบแกน abscissa ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง เบื้องต้นและ ABFDE. ปริมาตรของเนื้อหาเหล่านี้สามารถพบได้ในสูตร (1) ซึ่งขีด จำกัด ของการรวมเท่ากับและ - abscissas ของคะแนน ขและ งจุดตัดของพาราโบลา ตอนนี้เราสามารถหาปริมาตรของร่างกายได้:

ตัวอย่างที่ 4คำนวณปริมาตรของทอรัส (ทอรัสคือร่างกายที่ได้จากการหมุนวงกลมรัศมี กเกี่ยวกับแกนที่อยู่ในระนาบของมันในระยะไกล ขจากจุดศูนย์กลางของวงกลม () รูปร่างของ torus เช่น เบเกิล)

สารละลาย. ให้วงกลมหมุนรอบแกน วัว(รูปที่ 20) ปริมาตรของทอรัสสามารถแสดงเป็นผลต่างระหว่างปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง เบื้องต้นและ อาบีลรอบแกน วัว.

สมการวงกลม แอลซีดีมีแบบฟอร์ม

และสมการของเส้นโค้ง บีซีดี

และสมการของเส้นโค้ง บีแอลดี

เราใช้ความแตกต่างของปริมาตรของร่างกายเพื่อให้ได้ปริมาตรของพรู โวลต์การแสดงออก

การใช้ปริพันธ์เพื่อหาปริมาตรของ Solids of Revolution

ประโยชน์ในทางปฏิบัติของคณิตศาสตร์เกิดจากการที่ไม่มี

ความรู้ทางคณิตศาสตร์เฉพาะทำให้ยากต่อการเข้าใจหลักการของอุปกรณ์และการใช้เทคโนโลยีสมัยใหม่ แต่ละคนในชีวิตของเขาต้องทำการคำนวณที่ค่อนข้างซับซ้อน ใช้อุปกรณ์ที่ใช้กันทั่วไป ค้นหาสูตรที่จำเป็นในหนังสืออ้างอิง และเขียนอัลกอริทึมอย่างง่ายสำหรับการแก้ปัญหา ในสังคมสมัยใหม่ ความเชี่ยวชาญพิเศษที่ต้องการการศึกษาในระดับสูงมีความเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์โดยตรง ดังนั้นสำหรับเด็กนักเรียน คณิตศาสตร์จึงกลายเป็นวิชาที่สำคัญทางวิชาชีพ บทบาทนำเป็นของคณิตศาสตร์ในการก่อตัวของการคิดแบบอัลกอริทึม ซึ่งนำมาซึ่งความสามารถในการดำเนินการตามอัลกอริทึมที่กำหนดและออกแบบอัลกอริทึมใหม่

ศึกษาหัวข้อการใช้อินทิกรัลเพื่อคำนวณปริมาตรของการปฏิวัติ ฉันขอแนะนำให้นักเรียนในชั้นเรียนที่เลือกพิจารณาหัวข้อ: "ปริมาตรของวัตถุของการปฏิวัติโดยใช้ปริพันธ์" ต่อไปนี้เป็นแนวทางในการจัดการกับหัวข้อนี้:

1. พื้นที่ของรูปแบน

จากวิชาพีชคณิต เรารู้ว่าปัญหาที่เกิดขึ้นจริงนำไปสู่แนวคิดเรื่องปริพันธ์แน่นอน หนึ่งในนั้นคือการคำนวณพื้นที่ของรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้นต่อเนื่อง y=f(x) (โดยที่ f(x)DIV_ADBLOCK243">

คำนวณพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูโดยใช้สูตรหากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูอยู่บนแกน x หรือใช้สูตร https://pandia.ru/text/77/502/images/image004_49.jpg" width= "526" ความสูง="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">

ในการค้นหาปริมาตรของวัตถุของการปฏิวัติที่เกิดจากการหมุนของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูรอบแกน Ox ซึ่งล้อมรอบด้วยเส้นแบ่ง y=f(x), แกน Ox, เส้นตรง x=a และ x=b เราจะคำนวณ โดยสูตร

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. ปริมาตรของกระบอกสูบ

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">ได้กรวยโดยหมุนสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC(C=90) รอบแกน Ox ซึ่งขา AC อยู่

กลุ่ม AB อยู่บนบรรทัด y=kx+c โดยที่ https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">

ให้ a=0, b=H (H คือความสูงของกรวย) จากนั้น Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. ปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดทอน

กรวยที่ถูกตัดสามารถหาได้จากการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD (CDOx) รอบแกน Ox

ส่วน AB อยู่บนเส้น y=kx+c โดยที่ , ค=ร.

เนื่องจากเส้นผ่านจุด A (0; r)

ดังนั้น เส้นตรงจึงดูเหมือน https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

ให้ a=0, b=H (H คือความสูงของกรวยที่ถูกตัด) จากนั้น https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src =">= .

6. ปริมาตรของลูกบอล

สามารถรับลูกบอลได้โดยหมุนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง (0;0) รอบแกน x สมการจะได้ครึ่งวงกลมเหนือแกน x

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

I. ปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติ ศึกษาเบื้องต้นในบทที่ XII ย่อหน้าที่ 197, 198 ตามตำราของ G. M. Fikhtengolts* วิเคราะห์รายละเอียดตัวอย่างที่ให้ไว้ในย่อหน้าที่ 198

508. คำนวณปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนวงรีรอบแกน x

ดังนั้น,

530. ค้นหาพื้นที่ของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนรอบแกน Ox ของส่วนโค้งของไซน์ซอยด์ y \u003d sin x จากจุด X \u003d 0 ไปยังจุด X \u003d มัน

531. คำนวณพื้นที่ผิวของกรวยที่มีความสูง h และรัศมี r

532. คำนวณพื้นที่ผิวที่เกิดจาก

การหมุนของดาวเคราะห์น้อย x3 -) - y* - a3 รอบแกน x

533. คำนวณพื้นที่ของพื้นผิวที่เกิดจากการผกผันของลูปของเส้นโค้ง 18 y-x(6-x)r รอบแกน x

534. จงหาพื้นผิวของรูที่เกิดจากการหมุนวงกลม X2 - j - (y-3)2 = 4 รอบแกน x

535. คำนวณพื้นที่ของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนของวงกลม X = a cost, y = asint รอบแกน Ox

536. คำนวณพื้นที่ของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนของเส้นโค้ง x = 9t2, y = St - 9t3 รอบแกน Ox

537. ค้นหาพื้นที่ของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนส่วนโค้งของเส้นโค้ง x = e * sint, y = el ราคารอบแกน Ox

จาก t = 0 ถึง t = -

538. แสดงว่าพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนส่วนโค้งของไซโคลลอยด์ x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) รอบแกน Oy เท่ากับ 16 u2 o2

539. ค้นหาพื้นผิวที่ได้จากการหมุนคาร์ดิออยด์รอบแกนขั้วโลก

540. ค้นหาพื้นที่ของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนของเล็มนิสเกต รอบแกนขั้วโลก

งานเพิ่มเติมสำหรับบทที่ IV

พื้นที่ของรูปทรงระนาบ

541. ค้นหาพื้นที่ทั้งหมดของภูมิภาคที่มีเส้นโค้ง และแกนโอ.

542. ค้นหาพื้นที่ของภูมิภาคที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง

และแกนโอ.

543. ค้นหาส่วนของพื้นที่ของภูมิภาคที่อยู่ในจตุภาคแรกและล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง

l แกนพิกัด

544. ค้นหาพื้นที่ของพื้นที่ที่อยู่ภายใน

ลูป:

545. ค้นหาพื้นที่ของภูมิภาคที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งหนึ่งวง:

546. ค้นหาพื้นที่ของพื้นที่ที่อยู่ภายในลูป:

547. ค้นหาพื้นที่ของภูมิภาคที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง

และแกนโอ.

548. ค้นหาพื้นที่ของภูมิภาคที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง

และแกนโอ.

549. ค้นหาพื้นที่ของภูมิภาคที่ล้อมรอบด้วยแกน Oxr

ทางตรงและทางโค้ง

รูปแบนรอบแกน

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , .

1) ค้นหาพื้นที่ของรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้นเหล่านี้

2) ค้นหาปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนรูปทรงแบนซึ่งล้อมรอบด้วยเส้นเหล่านี้รอบแกน

ความสนใจ!แม้ว่าคุณจะต้องการอ่านย่อหน้าที่สองก่อนก็ตาม อย่างจำเป็นอ่านตอนแรก!

สารละลาย: งานประกอบด้วยสองส่วน เริ่มจากสแควร์กันก่อน

1) มาดำเนินการวาดภาพ:

ฟังก์ชันกำหนดกิ่งบนของพาราโบลาได้ง่าย และฟังก์ชันกำหนดกิ่งล่างของพาราโบลา ข้างหน้าเราเป็นพาราโบลาเล็กน้อยซึ่ง "อยู่ด้านข้าง"

ตัวเลขที่ต้องการซึ่งเป็นพื้นที่ที่จะพบจะถูกแรเงาด้วยสีน้ำเงิน

จะหาพื้นที่ของรูปได้อย่างไร? สามารถพบได้ในทาง "ปกติ" นอกจากนี้ พื้นที่ของตัวเลขยังพบว่าเป็นผลรวมของพื้นที่:

- ในส่วนของ;

- ในส่วนของ

นั่นเป็นเหตุผล:

มีวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลมากกว่า: ประกอบด้วยการเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันผกผันและการรวมตามแนวแกน

จะส่งไปยังฟังก์ชันผกผันได้อย่างไร คุณต้องแสดง "x" ถึง "y" อย่างคร่าวๆ ก่อนอื่นมาจัดการกับพาราโบลา:

เท่านี้ก็เพียงพอแล้ว แต่ขอให้แน่ใจว่าสามารถรับฟังก์ชันเดียวกันจากสาขาด้านล่างได้:

ด้วยเส้นตรง ทุกอย่างจะง่ายขึ้น:

ตอนนี้ดูที่แกน: โปรดเอียงศีรษะของคุณไปทางขวา 90 องศาเป็นระยะๆ ตามที่อธิบาย (นี่ไม่ใช่เรื่องตลก!) ตัวเลขที่เราต้องการอยู่ในส่วนซึ่งระบุด้วยเส้นประสีแดง ในเวลาเดียวกันในส่วนของเส้นตรงอยู่เหนือพาราโบลาซึ่งหมายความว่าควรพบพื้นที่ของตัวเลขโดยใช้สูตรที่คุณคุ้นเคยอยู่แล้ว: มีการเปลี่ยนแปลงอะไรในสูตร? จดหมายเท่านั้นและไม่มีอะไรเพิ่มเติม

! บันทึก : ขีดจำกัดการรวมแกน ควรจัดจากล่างขึ้นบนอย่างเคร่งครัด !

ค้นหาพื้นที่:

ในส่วน ดังนั้น:

ให้ความสนใจกับวิธีที่ฉันดำเนินการบูรณาการนี่เป็นวิธีที่มีเหตุผลที่สุดและในย่อหน้าถัดไปของงานจะชัดเจนว่าเหตุใด

สำหรับผู้อ่านที่สงสัยในความถูกต้องของอินทิเกรต ฉันจะค้นหาอนุพันธ์:

ได้รับอินทิกรัลดั้งเดิม ซึ่งหมายความว่าการอินทิเกรตดำเนินการอย่างถูกต้อง

คำตอบ:

2) คำนวณปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนของตัวเลขนี้รอบแกน

ฉันจะวาดใหม่ในรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อย:

ดังนั้น รูปที่แรเงาด้วยสีน้ำเงินจึงหมุนรอบแกน ผลลัพธ์ที่ได้คือ "ผีเสื้อโฉบ" ที่หมุนรอบแกนของมัน

เพื่อหาปริมาตรของวัตถุของการปฏิวัติ เราจะรวมแกนเข้าด้วยกัน ก่อนอื่นเราต้องไปยังฟังก์ชันผกผัน สิ่งนี้ได้ทำไปแล้วและอธิบายโดยละเอียดในย่อหน้าก่อนหน้า

ตอนนี้เราเอียงศีรษะไปทางขวาอีกครั้งและศึกษาร่างของเรา เห็นได้ชัดว่าควรหาปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติเป็นความแตกต่างระหว่างปริมาตร

เราหมุนรูปที่วงกลมสีแดงรอบแกน ส่งผลให้กรวยถูกตัดออก เรามาแทนปริมาตรนี้ด้วย .

เราหมุนร่างวงกลมสีเขียวรอบแกนและแสดงผ่านปริมาตรของตัวการปฏิวัติที่เกิดขึ้น

ปริมาตรของผีเสื้อของเราเท่ากับความแตกต่างของปริมาตร

เราใช้สูตรเพื่อหาปริมาตรของการปฏิวัติ:

แตกต่างจากสูตรย่อหน้าที่แล้วอย่างไร? เฉพาะในตัวอักษร

และนี่คือข้อดีของการอินทิเกรตที่ฉันเพิ่งพูดถึง คือหาง่ายกว่าการยกอินทิกรัลยกกำลัง 4 ก่อน

คำตอบ:

โปรดทราบว่าหากรูปแบนเดียวกันหมุนรอบแกน ร่างกายของการปฏิวัติที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงจะกลายเป็นปริมาตรที่แตกต่างกันโดยธรรมชาติ

ตัวอย่างที่ 7

คำนวณปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนรอบแกนของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง และ

สารละลาย:มาวาดรูปกันเถอะ:

ระหว่างทาง เราได้ทำความคุ้นเคยกับกราฟของฟังก์ชันอื่นๆ กราฟที่น่าสนใจของฟังก์ชันคู่ ....

เพื่อจุดประสงค์ในการค้นหาปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ครึ่งขวาของร่างซึ่งฉันแรเงาด้วยสีน้ำเงิน ทั้งสองฟังก์ชันเป็นเลขคู่ กราฟของพวกมันสมมาตรรอบแกน และรูปของเราก็สมมาตรด้วย ดังนั้นส่วนด้านขวาที่แรเงาซึ่งหมุนรอบแกนจะตรงกับส่วนที่ไม่ได้ฟักด้านซ้ายอย่างแน่นอน หรือ . อันที่จริง ตัวฉันเองมักจะประกันตัวเองด้วยการแทนจุดสองสามจุดบนกราฟลงในฟังก์ชันผกผันที่พบ

ตอนนี้เราเอียงศีรษะไปทางขวาและสังเกตสิ่งต่อไปนี้:

– ในส่วนเหนือแกนมีกราฟของฟังก์ชัน ;

มีเหตุผลที่จะสันนิษฐานว่าควรหาปริมาตรของการปฏิวัติแล้วเป็นผลรวมของปริมาตรของการปฏิวัติ!

เราใช้สูตร:

ในกรณีนี้.

นอกเหนือจาก การหาพื้นที่ของรูปทรงแบนโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน แอปพลิเคชั่นที่สำคัญที่สุดของธีมคือ การคำนวณปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติ. เนื้อหานั้นง่าย แต่ต้องเตรียมผู้อ่าน: จำเป็นต้องสามารถแก้ไขได้ ปริพันธ์ไม่จำกัด ซับซ้อนปานกลาง และใช้สูตร Newton-Leibniz ใน อินทิกรัลแน่นอน . เช่นเดียวกับปัญหาในการหาพื้นที่ คุณต้องมีความมั่นใจในทักษะการวาดภาพ - นี่เกือบจะเป็นสิ่งที่สำคัญที่สุด (เนื่องจากปริพันธ์มักจะง่าย) คุณสามารถเชี่ยวชาญเทคนิคการลงจุดกราฟที่มีความสามารถและรวดเร็วด้วยความช่วยเหลือของวัสดุวิธีการ . แต่ในความเป็นจริงฉันได้พูดซ้ำแล้วซ้ำอีกเกี่ยวกับความสำคัญของการวาดภาพในบทเรียน .

โดยทั่วไปมีแอปพลิเคชันที่น่าสนใจมากมายในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ เมื่อใช้ปริพันธ์ที่แน่นอน คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของตัวเลข ปริมาตรของวัตถุของการปฏิวัติ ความยาวของส่วนโค้ง พื้นที่ผิว ของร่างกายและอื่น ๆ อีกมากมาย ดังนั้นมันจะสนุก โปรดมองโลกในแง่ดี!

ลองนึกภาพรูปร่างแบนๆ บนระนาบพิกัด เป็นตัวแทน? ... ฉันสงสัยว่าใครนำเสนออะไร ... =))) เราพบพื้นที่แล้ว แต่นอกจากนี้ตัวเลขนี้ยังสามารถหมุนและหมุนได้สองวิธี:

– รอบแกน x; - รอบแกน y

ในบทความนี้จะกล่าวถึงทั้งสองกรณี วิธีที่สองของการหมุนนั้นน่าสนใจเป็นพิเศษ มันทำให้เกิดความยุ่งยากมากที่สุด แต่ในความเป็นจริงการแก้ปัญหานั้นเกือบจะเหมือนกับการหมุนรอบแกน x ทั่วไป เป็นโบนัส ฉันจะกลับไป ปัญหาในการหาพื้นที่ของรูป และบอกวิธีหาพื้นที่ด้วยวิธีที่สอง - ตามแนวแกน โบนัสไม่มากนักเนื่องจากเนื้อหาเข้ากันได้ดีกับธีม

เริ่มจากการหมุนประเภทยอดนิยมกันก่อน

การคำนวณปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนของรูปทรงแบนรอบแกน

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นรอบแกน

สารละลาย:ในส่วนของปัญหาการหาพื้นที่นั้น วิธีแก้ปัญหาเริ่มต้นด้วยการวาดภาพร่างแบน. นั่นคือบนระนาบจำเป็นต้องสร้างรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , ในขณะที่ไม่ลืมว่าสมการกำหนดแกน . วิธีทำให้การวาดภาพมีเหตุผลและรวดเร็วยิ่งขึ้นสามารถพบได้ในหน้าต่างๆ กราฟและสมบัติของฟังก์ชันมูลฐาน และ อินทิกรัลแน่นอน วิธีคำนวณพื้นที่ของรูป . นี่คือคติเตือนใจของชาวจีนและฉันจะไม่หยุดอยู่แค่นี้

การวาดที่นี่ค่อนข้างง่าย:

รูปร่างแบนที่ต้องการนั้นถูกแรเงาด้วยสีน้ำเงินเธอคือผู้ที่หมุนรอบแกน ผลจากการหมุนทำให้ได้จานบินรูปทรงไข่เล็กน้อยซึ่งมีความสมมาตรรอบแกน ในความเป็นจริง ร่างกายมีชื่อทางคณิตศาสตร์ แต่ขี้เกียจเกินไปที่จะดูบางอย่างในหนังสืออ้างอิง ดังนั้นเราจึงดำเนินการต่อไป

จะคำนวณปริมาตรของการปฏิวัติได้อย่างไร?

ปริมาตรของการปฏิวัติสามารถคำนวณได้จากสูตร:

ในสูตร ต้องมีตัวเลขนำหน้าอินทิกรัล มันเพิ่งเกิดขึ้น - ทุกสิ่งที่หมุนในชีวิตเชื่อมโยงกับค่าคงที่นี้

ฉันคิดว่าวิธีกำหนดขีด จำกัด ของการรวม "a" และ "be" นั้นเดาได้ง่ายจากภาพวาดที่เสร็จสมบูรณ์

ฟังก์ชั่น...ฟังก์ชั่นนี้คืออะไร? ลองดูที่การวาดภาพ รูปแบนล้อมรอบด้วยกราฟพาราโบลาจากด้านบน นี่คือฟังก์ชันที่บอกเป็นนัยในสูตร

ในทางปฏิบัติ บางครั้งรูปทรงแบนอาจอยู่ใต้แกน สิ่งนี้ไม่ได้เปลี่ยนแปลงอะไร - ฟังก์ชันในสูตรจะเป็นกำลังสอง: , ดังนั้น ปริมาณของการปฏิวัติจะไม่เป็นลบเสมอซึ่งค่อนข้างมีเหตุผล

คำนวณปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติโดยใช้สูตรนี้:

อย่างที่ฉันได้กล่าวไปแล้วอินทิกรัลมักจะเรียบง่ายสิ่งสำคัญคือต้องระวัง

คำตอบ:

ในคำตอบจำเป็นต้องระบุขนาด - หน่วยลูกบาศก์ นั่นคือในร่างกายของการหมุนของเรามี "ลูกบาศก์" ประมาณ 3.35 ทำไมลูกบาศก์ หน่วย? เพราะสูตรครอบจักรวาลที่สุด อาจเป็นลูกบาศก์เซนติเมตร อาจเป็นลูกบาศก์เมตร อาจเป็นลูกบาศก์กิโลเมตร ฯลฯ นั่นคือจำนวนชายชุดเขียวตัวน้อยในจินตนาการของคุณที่สามารถใส่จานบินได้

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนรอบแกนของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน

ลองพิจารณาปัญหาที่ซับซ้อนอีกสองข้อซึ่งมักพบในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนรอบแกน abscissa ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , และ

สารละลาย:เรามาพรรณนาในการวาดภาพร่างแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , ในขณะที่ไม่ลืมว่าสมการกำหนดแกน:

ร่างที่ต้องการถูกแรเงาด้วยสีน้ำเงิน เมื่อหมุนรอบแกนจะได้โดนัทเหนือจริงที่มีสี่มุม

ปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติคำนวณจาก ความแตกต่างของปริมาตรของร่างกาย.

ขั้นแรกให้ดูรูปที่วงกลมสีแดง เมื่อหมุนรอบแกนจะได้กรวยที่ถูกตัดออก เรามาแทนปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดเป็น

พิจารณารูปที่วงกลมด้วยสีเขียว หากคุณหมุนตัวเลขนี้รอบแกน คุณจะได้กรวยที่ถูกตัดให้เล็กลงเพียงเล็กน้อยเท่านั้น เรามาแทนปริมาตรด้วย .

และแน่นอนว่าความแตกต่างของปริมาณก็คือปริมาตรของ "โดนัท" ของเรานั่นเอง

เราใช้สูตรมาตรฐานในการหาปริมาตรของการปฏิวัติ:

1) รูปที่วงกลมด้วยสีแดงล้อมรอบด้วยเส้นตรงด้านบน ดังนั้น:

2) รูปที่วงกลมด้วยสีเขียวล้อมรอบด้วยเส้นตรงด้านบน ดังนั้น:

3) ปริมาณของการปฏิวัติร่างกายที่ต้องการ:

คำตอบ:

เป็นที่น่าสงสัยว่าในกรณีนี้สามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้โดยใช้สูตรโรงเรียนสำหรับคำนวณปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดทอน

การตัดสินใจมักจะสั้นลง เช่น:

ตอนนี้มาพักและพูดคุยเกี่ยวกับภาพลวงตาทางเรขาคณิต

ผู้คนมักมีภาพลวงตาที่เกี่ยวข้องกับปริมาตรซึ่ง Perelman (ไม่เหมือนกัน) สังเกตเห็นในหนังสือ รูปทรงเรขาคณิตที่น่าสนใจ. ดูรูปแบนราบในปัญหาที่แก้ไขแล้ว - ดูเหมือนว่าจะมีพื้นที่เล็กและปริมาตรของวัตถุที่มีการปฏิวัตินั้นมากกว่า 50 ลูกบาศก์หน่วยซึ่งดูเหมือนใหญ่เกินไป โดยวิธีการที่คนทั่วไปตลอดชีวิตของเขาดื่มของเหลวที่มีปริมาตรห้อง 18 ตารางเมตรซึ่งตรงกันข้ามดูเหมือนจะมีปริมาตรน้อยเกินไป

โดยทั่วไปแล้วระบบการศึกษาในสหภาพโซเวียตนั้นดีที่สุดจริงๆ หนังสือเล่มเดียวกันของ Perelman ซึ่งเขียนโดยเขาในปี 2493 พัฒนาได้ดีมากตามที่นักอารมณ์ขันพูดให้เหตุผลและสอนให้คุณมองหาวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานดั้งเดิม เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันอ่านบางบทซ้ำด้วยความสนใจ ฉันขอแนะนำ เข้าถึงได้แม้สำหรับนักมนุษยธรรม ไม่ คุณไม่จำเป็นต้องยิ้มว่าฉันแนะนำงานอดิเรกตามอัธยาศัย ความรอบรู้และมุมมองกว้างๆ ในการสื่อสารเป็นสิ่งที่ดี

หลังจากการพูดนอกเรื่องโคลงสั้น ๆ การแก้ปัญหางานสร้างสรรค์ก็เหมาะสมแล้ว:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณปริมาตรของวัตถุที่เกิดจากการหมุนรอบแกนของรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , โดยที่

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง โปรดทราบว่าทุกสิ่งเกิดขึ้นในวงดนตรี หรืออีกนัยหนึ่งก็คือ เกือบจะมีการให้ขีดจำกัดการรวมแบบสำเร็จรูปแล้ว พยายามวาดกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้ถูกต้องด้วย หากอาร์กิวเมนต์ถูกหารด้วยสอง: กราฟจะถูกยืดออกไปตามแกนสองครั้ง พยายามหาอย่างน้อย 3-4 จุด ตามตารางตรีโกณมิติ และทำให้การวาดภาพมีความแม่นยำยิ่งขึ้น เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน อย่างไรก็ตามงานสามารถแก้ไขได้อย่างมีเหตุผลและไม่สมเหตุสมผล